三元常用不等式联赛_三元不等式sos

三元常用不等式联赛是指在数学竞赛中，经常使用的一些涉及三个变量的不等式，这些不等式在解决各种数学问题时非常有用，特别是在证明、优化和估计问题中，以下是一些常见的三元不等式：

1、算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：

对于非负实数 (a)、(b) 和 (c)，有：

[

rac{a + b + c}{3} geq sqrt[3]{abc}

]

当且仅当 (a = b = c) 时等号成立。

2、调和平均-几何平均不等式（HM-GM不等式）：

对于正实数 (a)、(b) 和 (c)，有：

[

rac{3}{rac{1}{a} + rac{1}{b} + rac{1}{c}} leq sqrt[3]{abc}

]

当且仅当 (a = b = c) 时等号成立。

3、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：

对于实数 (a_1, a_2, a_3) 和 (b_1, b_2, b_3)，有：

[

(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2

]

当且仅当存在实数 (k) 使得 (a_i = kb_i) 对所有 (i) 成立时等号成立。

4、伯努利不等式：

对于实数 (x > -1) 和正整数 (n)，有：

[

(1 + x)^n geq 1 + nx

]

当且仅当 (x = 0) 或 (n = 1) 时等号成立。

5、三角形不等式：

对于任意实数 (a)、(b) 和 (c)，有：

[

|a + b + c| leq |a| + |b| + |c|

]

6、赫尔德不等式：

对于正实数 (a_i, b_i, c_i) 和正实数 (p, q, r) 使得 (rac{1}{p} + rac{1}{q} + rac{1}{r} = 1)，有：

[

left( sum_{i=1}^n a_i^p ight)^{rac{1}{p}} left( sum_{i=1}^n b_i^q ight)^{rac{1}{q}} left( sum_{i=1}^n c_i^r ight)^{rac{1}{r}} geq sum_{i=1}^n a_i b_i c_i

]

这些不等式在数学竞赛和高等数学中非常重要，它们可以帮助解决各种复杂的问题。